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解析几何求最值与柯西不等式的友好合作

2015-08-29 08:57 来源: 互联网 作者:段双莲 浏览次数 780

   柯西不等式在高中教材的《不等式选讲》里,一般在高考试卷中是选做题。属于容易题或中等题。可对湖北省高考来说,它是必考的范畴。 
  而且学生只要掌握了柯西不等式的形式和应用条件,解决一般的求最值是没有问题的,可对于2014年的湖北省第9题,这题是解析几何题,本身就是一道难题,它与柯西不等式结合就更显得高深莫测,学生更是束手无策。那么它们是怎样结合的呢?下面我们一探其真面目。 
  点评:解析几何与不等式是高考中的难题,难点一是解析几何复杂的符号运算。难点二是用不等式求最值,此题若能写出两个定义式,经过化简得到两离心率的表达式,然后结合柯西不等式就水到渠成了。要求学生能把握这两点之间的联系,而且对柯西不等式的结构掌握得又很牢固,两者的结合简直就是珠联璧合。我们在平时的训练中应多有这方面的结合,解析几何的求最值就不仅只有其他的常规方法,又多了一个帮手——柯西不等式。下面再看几例它们的组合。 
  例2:等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在三角形中任取一点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形,求这三个三角形的面积的最小值,以及此时点P的位置。 
  点评:利用柯西不等式的关键构建两个数组的平方和的积式。且只有当不等式的一边取定值时,另一边才有相应的最值,同时要保证等号成立。对于解析几何,需要挖掘隐含条件找到或创造几项的平方和或和的平方为定值,才能用柯西不等式求最值,对学生的能力要求更高。 
  纵观近几年湖北省高考题,对柯西不等式的考查,年年考而且是一步一个台阶,要求我们在复习备考时加强训练,牢牢地把握柯西不等式的结构特点,以不变应万变。

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